積分 x^α

x α dx = 1 α+1 x α+1 +C ・・・・・・(1)

α の値は 1 以外の実数

(1)式は x α を積分したものである.積分は微分と逆の操作だと考えることができる.

ある関数を積分し,それを微分すると,元の関数に戻る.

1 a+1 x α+1 を微分すると以下のようになる.

d dx ( 1 α+1 x α+1 )= 1 α+1 .( α+1 ) x α

= x α    ここを参照

よって, 1 α+1 x α+1 x α 原始関数である.従って,不定積分の定義より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C

以下に積分の具体例を示す.

■例

x α α を3と置いたときの関数 x 3 を積分する.

x 3 dx= 1 3+1 x 3+1 +C

= 1 4 x 4 +C

となる.ここで,結果を微分して x 3 に戻るかどうか確認すると

d dx ( 1 4 x 4 +C )= x 3

となり,元に戻った.

※の α1 とあるが, α=1 の時は(1)式の左辺 1 α+1 の分母が0になり,(1)式は成立しない.

x 1 dx= 1 1+1 x 1+1 +C

= 1 0 x 0 +C

従って, α=1 の時は別の方法で積分しなければならない.ここを参照

 

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最終更新日 2023年10月3日